Théorème des sous-variétés :
Si \(M\subset{\Bbb R}^n\), les propriétés suivantes sont équivalentes :
\(M\) est une sous-variété de dimension \(d\)
(caractérisation implicite) pour tout \(a\in M\), il existe \(U\in\mathcal V(a)\) ouvert et une submersion \(g:U\to {\Bbb R}^{n-d}\) telle que $$U\cap M=g^{-1}(\{0\})$$
(paramétrage) pour tout \(a\in M\), il existe \(U\in\mathcal V(a)\) ouvert, \(\Omega\in\mathcal V(0)\) ouvert de \({\Bbb R}^d\) et \(h:\Omega\to U\cap M\) une immersion et un homéomorphisme tel que $$h(0)=a$$
(graphe) \(\forall a\in M,\exists U\in\mathcal V(a)\) ouvert, \(W\in\mathcal V((a_1,\dots,a_d))\) ouvert (à permutation éventuelle des coordonnées) et \(\phi:W\to{\Bbb R}^{n-d}\) de classe \(\mathcal C^1\) tels que \(U\cap M\) soit le graphe de \(\phi\)
\(S=\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\mid x^2+y^2+z^2-1=0\}\) \(\to\) ligne de niveau d'une fonction \(\to\) caractérisation implicite
\(\begin{cases} x(t)=\cos(t)\\ y(t)=\sin(t)\end{cases}\) \(\to\) caractérisation paramétrique
